Wiskunde
Thomas Colignatus
Het volgende beschrijft een aparte reis van de geest die voert langs de krochten van menselijke geschiedenis en door versteende instituties met eigen belangen. Het gaat nu, kortom, over wiskunde.
Ik ben econometrist en in dit vak maken we economische modellen van de werkelijkheid met behulp van wiskunde en statistiek. Aan de universiteit in Groningen hadden wij onze colleges wiskunde samen met de studenten wis-, natuur- en sterrekunde. Na een diploma econometrie in Groningen 1982 heb ik nog een didactische aantekening wiskunde gekregen aan de universiteit in Leiden 2008. Mijn boek over de didactiek van wiskunde heeft onlangs een gunstige recensie gekregen. Hopelijk accepteert de lezer dat ik iets van wiskunde snap, ook al kan het lijken of ik wonderlijke uitspraken doe.
Als docent wiskunde heb ik alleen bekwame en prettige collegae ontmoet. Er is een eindexamen waaraan gewerkt wordt en er is de oprechte poging leerlingen ook wiskunde bij te brengen. Als ik al kritiek zou hebben, dan niet daarop. Mij gaat het nu om de andere kant, de feitelijke constatering dat het fundamenteel en structureel fout gaat.
Er is een groot probleem in het onderwijs in wiskunde. Wiskundigen worden opgeleid voor abstracte theorie. Komen zij voor de klas te staan dan zien zij daar reëel bestaande leerlingen. Oei, au, oef. Een pijnlijk besef: wiskundigen hebben niet de empirische instelling die voor onderwijs nodig is. Wiskundigen lossen dit op door vast te houden aan een bepaalde traditie. Doe het maar zoals het altijd gedaan is, dan werkt het een beetje, denken ze dan. Wanneer de leerling het niet snapt, is het de schuld van die leerling zelf. En zo gaat het al eeuwen.
Ik overdrijf een beetje. Wiskundigen veranderen wel eens iets. Hans Freudenthal verzon de “realistische wiskunde”. Hier was dus een theoreticus met het hoofd in de wolken die meende een beeld van de werkelijkheid te hebben. Nu was het voorgaande onderwijs in wiskunde nogal erg on-didactisch met “definitie, stelling, bewijs”, dus misschien lukte het alleen daarom dat anderen zich lieten overtuigen om iets anders te proberen, in de richting van toegepaste wiskunde.
Maar empirisch onderbouwd was het niet. Recentelijk constateert Ben Wilbrink: “ik heb geen serieus empirisch toetsend onderzoek door de wiskobas-groep kunnen vinden, dus geen onderzoek op basis waarvan Hans Freudenthal terecht zijn claim kon doen. En dit is niet de enige claim die de wiskobas-groep heeft gedaan.” Ben Wilbrink snapt daarbij nog niet hoe erg het écht is.
Een voorbeeld. Voor “twee en een half” is de officiële schrijfwijze 2½. Voor “twee maal A” is de schrijfwijze 2A. Bijvoorbeeld 2√2. De schrijfwijze 2½ is dus als “twee maal een half”. Voor boeken of bij typen is het nog wel te leren. Maar met de hand geschreven kan het fout gaan en kan een leerling plots denken 2 ½ = 1.
Er zit veel onderwijstijd, bloed, zweet en tranen in aanleren bij leerlingen dat 2½ eerst “en” is en vervolgens dit weer een beetje afleren omdat 2A “maal” is. Waarom? Alleen omdat het traditie is. Je kunt ook gewoon 2 + ½ schrijven voor “twee en een half”, dan staat die “en” er ook precies. Vanuit didactisch oogpunt is dat ook logischer omdat het beter aansluit bij algebra.
Het is ook een belangrijk wiskundig inzicht dat een symbool zowel passieve als actieve betekenis kan hebben. Bijvoorbeeld bij √2 kun je de rekenmachine pakken om actief de decimalen te bepalen, maar je kunt het ook passief laten staan om daarmee exact door te rekenen.
De notatie van breuken toont dus hoe wiskundigen hechten aan traditie en geen zicht hebben op de empirische onderwijssituatie. In wezen doen ze afbreuk aan de wiskunde zelf. Het is een voorbeeld van een veel en veel langere lijst.
Wanneer je wiskundigen hiervan vertelt, krijg je glazige gezichten en sommigen gaan schelden. De verkeerde “wiskunde” wordt nu tegen hoge kosten in allerlei computerprogramma’s ingeprogrammeerd en Nederland heeft een hele kerstboom opgetuigd om kinderen “beter te laten rekenen”.
Een ander voorbeeld. De wiskundigen hebben zich verenigd in het Platform Wiskunde Nederland (PWN). Ze zijn een publiciteitscampagne van plan waar het nodige geld in gaat zitten. Dus: men heeft vanaf de kleuterschool tot het eindexamen ontvankelijke kinderen beschikbaar om de schoonheid van wiskunde te laten zien, die kans wordt verknald, veel leerlingen gaan wiskunde haten, en vervolgens moet dit met reclame hersteld worden …
Directeur Wil Schilders van PWN schrijft: “In het afgelopen jaar is gebleken dat het lastig is om ‘out of the box’ te denken, derhalve zullen hiervoor nieuwe stimulansen worden gegeven. Er zal hier veel ruimte en aandacht aan worden gegeven, iedere commissie zal nadrukkelijk worden gevraagd nieuwe ideeën aan te dragen. Zulke initiatieven zijn van groot belang voor het welslagen van de missie van PWN.” (Euclides, december 2011, pagina 127; als ook Nieuw Archief voor Wiskunde, december 2011, p289)
Dit is een grove onwaarheid en de wiskunde onwaardig. Ik heb PWN, de commissie voor het onderwijs en ook professor Schilders zelf wel degelijk op de hoogte gesteld van mijn analyse en mijn boeken over het onderwijs in wiskunde. Niet meer van gehoord.
De onwaarheid van professor Schilders maakt me boos. Het is geschiedvervalsing. Het is de vos die de passie preekt. Het zijn de gekken die het gesticht, farizeeërs die de tempel, ondemocraten die het parlement hebben overgenomen.
Nederland heeft het onderwijs in wiskunde toevertrouwd aan halve autisten die halfblind zijn voor de werkelijkheid. Het is als paters in internaten maar dan geen sexueel misbruik maar geestelijke mishandeling. Het is als borst-implantaten met industriële in plaats van medicinale siliconen. Het is als de woekerpolissen van DSB of de rommelhypotheken in de USA.
De sector heeft geen zelfreinigend vermogen want is erop gericht zichzelf in stand te houden. De vorige minister van onderwijs en wetenschappen Ronald Plasterk deed niets. Nu doet hij alsof hij iets van economie snapt, en gezien het menselijk leed in Zuid-Europa heeft hij zich in mijn analyse ontpopt als misdadige clown. Pff. Dat lucht een beetje op.
Wanneer professor Schilders zo de onwaarheid spreekt, hoop ik dat ik even naar waarheid met woorden mag reageren die duidelijk schetsen om welke spanning het gaat. Pff. Terug naar alledaags taalgebruik. Er is dus iets ernstig mis. Laat het parlement ingrijpen (of kies er een dat wel functioneert).
Waar ik spreek over geestelijke mishandeling in het onderwijs in wiskunde, is het onjuist dat als literaire overdrijving te beschouwen want het is wel degelijk bedoeld als een empirische constatering.
Iemand constateert bijvoorbeeld hier: “Bovendien is er een grote groep studenten die bij a^2 + b^2 = c^2 al rode vlekken in hun nek krijgt.” Momenteel wordt het succes van het onderwijs in wiskunde gemeten als de “performance” van leerlingen, uitgaande van de onjuiste gedachte dat de onderliggende wiskunde goed is, met een instrument als PISA.
Juister zou het zijn om daar een statistische indicator naast te zetten voor de veroorzaakte overmatige stress, vergelijkbaar aan de instrumenten als van de Onderwijszorg Nederland of de Stichting Benchmark GGZ. Voor dierenwelzijn is er al statistisch onderzoek maar huilende kinderen hebben hun onvoldoende zelf verdiend en krijgen een zakdoek, zo is althans het huidige verkeerde gedachtenpatroon.
Het is, zoals gezegd, een apart verhaal. Ik werkte als econometrist en wetenschapper bij het Centraal Planbureau, ontwikkelde een analyse over werkloosheid, en zag mij met onwaarheden ontslagen. Een alternatief was leraar wiskunde worden. Als student had ik al een boek over logica en methodologie geschreven. De creativiteit staat niet stil en als empirisch wetenschapper kijk ik blijkbaar iets verder dan pure wiskundigen. Vervolgens ontdek je weer een en ander.
En dan begint weer zo’n circus: de boodschap is onwelgevallig maar je kunt de boodschapper pakken. Wat vreselijk jammer is, is dat mooie inzichten plotseling belast worden met het gescheld en gemanipuleer door anderen. Ik weet geen betere oplossing dan netjes verslag doen van wat er gebeurt.
Bijzonder is dat wiskundigen ook een rol hebben gespeeld bij het ontstaan van de crisis in economie en democratie. Ze hadden een beschermende rol kunnen spelen bij de ontsporing door de directie van het CPB maar blijken een eigen probleem te vormen. De reis van econometrie naar logica en wiskunde heeft zo ook wel weer tot nieuwe inzichten geleid.
Thomas Colignatus is econometrist en leraar wiskunde. Hij had gehoopt dat wiskundigen logisch waren. Via harde definities, stellingen en bewijzen zouden zij van diepere inzichten overtuigd raken. Helaas. Tevens brengt hij een saluut aan Vaclav Havel, deze vrijdag begraven. De kwestie bij het CPB begon bij de val van de Berlijnse muur, zie hier, en het is zeer spijtig dat Havel door de censuur bij het CPB zo’n tegenwind van een verkeerde economische analyse heeft gehad.
Thomas Cool/Colignatus, 03.01.2012 @ 12:39
29 Reacties
op 03 01 2012 at 16:20 schreef kevin:
Dus als de leerlingen “groter dan” en “groter als” niet kunnen onderscheiden, dan moeten we allebei maar goed rekenen? De wiskunde is historisch gegroeid, net zoals een taal. Dat verander je gewoon niet. In de didactiek kan er verbeterd worden, maar jouw veranderingen grijpen in in wat we als wiskundestof moeten beschouwen, niet alleen in hoe we het overbrengen. Of begrijp ik je nu verkeerd? Ik heb je boek niet gelezen, maar ik ben er wel benieuwd naar. Hoe ga je dan de Stelling van Pythagoras onderwijzen? Volgens mij kun je over de didactiek van die stelling alleen al boeken vol schrijven. Het is typisch iets wat mensen gewoon eng vinden en vervolgens dus ook niet snappen. Die geneeskundetrutjes met wie ik vroeger bij wiskunde opgescheept zat (die zaten daar alleen voor de statistiek)zeiden al “ik snap het niet” als je de naam van die stelling noemde.
Overigens vind ik je breukenverhaal wel goed. In de VS is het gebruikelijk om 2 1/2 op te schrijven als 5/2, dat haalt de verwarring weg. Een half pi is daar ook pi/2 en zo verder.
op 03 01 2012 at 17:11 schreef gronk:
Warrig verhaal, met op het laatst nog een stukje vervolgingswaanzin. Wat is d’r nou precies mis met het huidige wiskundeonderwijs? is ’t te abstract of zijn er teveel simpele plaatjes in het onderwijs, is ’t niet aangepast aan de werkelijkheid, of laat ’t te weinig zien van de esthetiek van wiskunde, sluit ’t nu wel of niet aan bij ‘universitaire’ wiskunde?
op 03 01 2012 at 18:03 schreef betwister:
Je kunt een autist moeilijk verwijten dat hij autist is.
Bovendien beantwoordde het wiskunde-onderwijs lange tijd aan z’n doelen, voor de leerlingen die mee konden komen:
– optellen, vermenigvuldigen en delen op de basisschool
– wiskunde op de middelbare school
Niet iedereen kan wiskunde leren, maar ook niet iedereen kan goed Frans leren, of correct Nederlands schrijven.
Ik meen dat een achteruitgang plaats gevonden heeft sinds circa 20 jaar door 2 oorzaken:
– onderwijzers kunnen niet meer rekenen
– de wiskunde-programmas op de middelbare scholen zijn gewijzigd
– de voorgeschreven didaktiek werkt niet.
Dat kunt u niet verwijten aan de serieuze wiskunde-docent(e) die een leerling moet gaan bijspijkeren als hij/zij 14 is.
Maar een reclame-campagne vind ik ook overbodig.
op 03 01 2012 at 18:53 schreef Makbouli:
Wat een fijn stuk! Ik heb altijd geleden onder de wiskunde. Saai uit boekjes leren. Eeuwige herhalingen en niet zichtbaar waar ik het ooit zou toepassen. Deed ik dus niets, leek me de beste oplossing. Toch geslaagd met een prominente 4 op mijn eindlijst. Mijn lot besloot dat mijn vriend wiskundeleraar was. Ook mijn dochter ziet er de lol van in en kan vol passie vertellen waarom dingen zijn zoals ze zijn. Mijn wazige blik levert dan steevast rollen met de ogen op.
Ik baal wel van die blinde vlek van me. Had ik jou maar als leraar gehad, was het misschien nog wat geworden.
op 03 01 2012 at 19:31 schreef Doc:
Als scholieren tijdens wiskundeles de schrijfwijze 2A leren voor twee maal A dan zijn ze al lichtjaren verwijderd van hun kindertijd toen ze bij rekenles de betekenis van 2½ leerden. Daarom denken leerlingen niet dat 2½ gelijk is aan 1. En natuurlijk denken leerlingen dat al helemaal niet plotseling. Tenzij ze plotseling de ontluikende tietjes van een klasgenote ontwaren en de puberhormonen het denken verhinderen. Op die leeftijd weten ze immers ook allang dat 24 niet gelijk is aan 8 en dat je vierentwintig niet schrijft als 42.
op 03 01 2012 at 20:49 schreef Sasha Berkman:
op 03 01 2012 at 21:07 schreef Sasha Berkman:
Wiskunde heeft voor mij eenzelfde gevoel als programeren.
Als het werkt krijg ik toch iedere keer een aha erlebnis.
op 03 01 2012 at 21:36 schreef Bart:
Als je niet het verschil tussen 2 1/2 en 2a kan leren of aanleren, dan ligt dat niet aan de wijze van schrijven. Die is zo ontstaan om juist niet helemaal lijp te worden van allerhande tekentjes van wie je de rekenvolgorde moet bepalen of overal haakjes omheen moet zetten.
Het niet uit het hoofd kunnen leren van paar simpele regeltjes, of ze toepassen, heeft niks te maken met de regeltjes, maar met diegene wie die regeltjes moet aanleren of diegene wie die regeltjes moet leren.
op 03 01 2012 at 22:34 schreef Sasha Berkman:
Ik heb ook enorm respect voor wat de mensheid dankzij wiskunde allemaal kan. Het is gewoon mind boggling. Mijn leeraar destijds was goed. Tussendoor vertelde hij verhalen over het verzet inde 2e wereldoorlog. Natuurkunde, Scheikunde, simpele voorbeelden die niet zouden kunnen bestaan zonder wiskunde.
Helaas sloopt de huidige anti-nederlandse regering het onderwijs sneller dan ooit tevoren.
op 04 01 2012 at 02:16 schreef Vera Leimann:
Waar gaat dit allemaal over? Voor 2½ is de officiële wiskundige schrijfwijze in ons land gewoon 2,5. Of op z’n Angelsaksich: 2.5. Geen enkele verwarring wat mij betreft. Zie http://taaladvies.net/taal/advies/vraag/463 .
op 04 01 2012 at 02:27 schreef Vera Leimann:
Voordat je weer van leer trekt: het voorbeeld komt van een taalsite, ja, dat klopt. Niks met Wiskunde te maken. Het diende dan ook puur als illustratie van het onderscheid tussen Angelsaksische en onze noteringen. Binnen de Wiskunde noteer je 2½ doorgaans eerder als 2,5 (in Nederland) en binnen Angelsaksische (ja met een s, spelfout in eerdere post) landen als 2.5. Het is niet logisch om een getal binnen de Wiskunde zo te noteren. Immers is 2,5123 nog steeds afgerond 2,5. De notering van de breuk vind je voornamelijk als er met breuken gerekend wordt, ja, in schoolboeken. Dan heeft dat een functie. Maar dan is er ook geen verwarring. Want dan is het duidelijk dat het om 2+ ½ gaat.
op 04 01 2012 at 02:31 schreef Vera Leimann:
Grmbl, laat, niet helemaal helder hier. “Zo te noteren” moest zijn: “als breuk te noteren”. Waarom mag ik niet editen in mijn eigen reacties voordat ze gemodereerd zijn? Onhandig. Sorry voor het ongemak.
op 04 01 2012 at 10:36 schreef Thomas Colignatus:
@kevin: “hoe ga je de Stelling van Pythagoras onderwijzen?”: Het is belangrijk om de opbouw vanaf de eerste pagina te zien en mee te nemen. Direct naar die stelling springen is wat gevaarlijk. Maar kijk op pag 85:
http://www.dataweb.nl/~cool/Papers/COTP/ConquestOfThePlane.pdf
@Bart: “lijp van haakjes”: Ja, bij het vermenigvuldigen van (2 + 1/2) * (1 + 3/4) moet je haakjes leren gebruiken. Heel nuttig om dat vroeg te leren. Moet je toch, want het is algebra (a + b) * (c + d). Leer dan ook de tweede manier van de tussenstappen 2 + 1/2 = 5/2 en 1 + 3/4 = 7/4. Het lijkt me een misvatting om te denken dat het “sneller” is om eerst een onhandige andere notatie te leren. Mijn voorstel: laten we dit empirisch toetsen. Probleem: wiskundigen hebben niet zo’n instelling.
@gronk: “vervolgingswaanzin”: Is er nu een economische crisis of niet ? Zijn er problemen in het onderwijs in wiskunde of niet ? Waarom de boodschapper de hersens inslaan ? Je kunt zulke zaken toch ook gaan onderzoeken, bijv. middels een parlementaire enquete ? http://www.dataweb.nl/~cool/Papers/Drgtpe/Crisis-2007plus/2012-01-03-Boycott-Holland.html
op 04 01 2012 at 10:57 schreef p.wielaard:
Gronk, Helemaal eens ! Lijkt meneer Fopp wel. Of Ge en Ari Temmes. Wat is er mis met een beetje inconsistentie ? Fuzzy works !
op 04 01 2012 at 13:04 schreef Elin:
Die breukennotatie is inderdaad onlogisch, maar ook maar een regeltje, ik kan me niet voorstellen dat mensen dáárdoor wiskunde gaan haten of erin falen.
Ik heb zelf wiskunde gehad op de middelbare school volgens de Wageningse Methode, wat juist een erg op toepassing gerichte, praktische methode is, lezend als een puzzelboek, zonder overigens onder de “realistische wiskunde” te vallen.
Heel leuk een aardig, maar wat wel zo is, doch wat ik ook bij anderen (van andere scholen) gemerkt heb, is dat kennis van het fundament, de verzamelingenleer, ontbreekt. Dat was dus een verrassing op de uni. En door de ontbreking van de ouderwetse “definitie, stelling, bewijs” methode (kan dat überhaupt zonder kennis van de verzamelingenleer?), valt dat ook rauw op je dak. Ik hoefde helemaal niks te bewijzen of definiëren op de middelbare school , alleen maar het concept te snappen en dan toepassen. Maar daardoor bleef het juist een beetje in limbo hangen allemaal. Ik snap niet waarom ze niet gewoon beginnen met de verzamelingenleer op de middelbare school.
op 04 01 2012 at 13:24 schreef kevin:
@Vera Je kletst. Er is niet één ‘officiële’ wiskundige schrijfwijze voor 2½ en als ik schrijfwijzen zou moeten rangschikken naar voorkomens in wiskundige artikelen, dan staat de decimale representatie toch vér onder de representatie als breuk. Breuken alleen in schoolboeken? Laat me niet lachen! Ik kom decimale representaties eigenlijk alleen in toegepaste wetenschappen tegen, niet bij wiskundigen zelf. En afrondingen kom ik al helemaal nooit tegen (niet zoals jij ze bedoelt in ieder geval, hoogstens een Taylor expansie ofzo of schatterfuncties in de statistiek).
@Thomas Begrijp ik het correct dat je eerst afstand definiëert als $\sqrt{(x_1 – x_2)^2 + (y_1 – y_2)^2}$ en daarna de stelling van Pythagoras als niet meer dan toepassing van die definitie beschouwt? Dan verplaats je het probleem alleen maar, want deze definitie van lengte gaat niet stroken met de intuïtie die mensen hebben. En wat ga je doen met “worteltrekken is toch het omgekeerde van kwadrateren?” Hoe sluit dit op die intuïtie aan? En zeg me niet dat deze intuïtie over worteltrekken ook al verkeerd is…
Mooiste bewijs vind ik nog altijd #4 op deze site: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml
op 04 01 2012 at 13:48 schreef MNb:
Hoewel TC correct opmerkt dat er een inconsistentie in de wiskundetaal is heb ik in 20 jaar lesgeven aan de doelgroep – 12 tot 16 jarigen – nooit mogen meemaken dat een dergelijke verwarring voorkomt. De vierde alinea is echter volledig correct – ook voor Suriname. Daarbij speelt nog een belangrijke rol: rolbevestiging. Ik zou de leraren wiskunde niet de kost willen geven die leerlingen dom maken door ze te behandelen als domoors.
op 04 01 2012 at 14:27 schreef MNb:
TC, ik heb je paragraaf over Pyth doorgenomen. Als ik daarmee kom aanzetten in mijn derde klassen krijg ik alléén maar glazige blikken. Het kan veel eenvoudiger: met een getallenvoorbeeld. Teken een vierkant I van 7 bij 7, verdeel deze in een licht geroteerd vierkant II van 5 bij 5 plus vier rechthoekige driehoeken met zijn 3, 4 en 5. Aan één van deze driehoeken teken je nog vierkanten III en IV van 4 bij 4 en van 3 bij 3. Laat de kinderen de oppervlaktes uitrekenen – kunnen ze al jaren – en laat ze ontdekken dat de oppervlakten van III en IV samen gelijk zijn aan die van II. Begrijpt iedereen met enige begeleiding (tekenen!) binnen één lesuur – ook Makbouli.
op 04 01 2012 at 16:20 schreef Thomas Colignatus:
@MNb, breuken: Ik heb de fout 2 1/2 = 1 voor mijn ogen door een leerling zien begaan. Ik weet niet hoeveel extra tijd het op de lagere school kost om e.e.a. aan of af te leren, want er is nog geen vergelijking met de andere methode mogelijk. Het is ook maar een van de vele voorbeelden uit het boek.
@MNb, Pythagoras: Ja, dat plaatje tref je ook aan in COTP, zie dan pagina 34
http://www.dataweb.nl/~cool/Papers/COTP/ConquestOfThePlane.pdf
De laatste maanden ben ik eigenlijk ook wel gecharmeerd geraakt van het bewijs door Multatuli.
@Kevin, Pythagoras: Pagina 85 legt uit dat er twee fundamentele manieren zijn om ernaar te kijken: of als definitie of als iets dat bewezen moet worden. De helicopter blik. Dus deze pagina niet reduceren tot alleen een aanpak (want dan kun je inderdaad verdwaald raken).
@Elin, verzamelingenleer: Heeft in het verleden een tijdje officieel in het eindexamenprogramma gestaan, maar dit werd in de leerboekjes gereduceerd tot alleen een schrijfwijze die nauwelijks iets aan het begrip toedroeg, en daarom is het maar weer afgeschaft. Een mooie kans is daarmee verknald. Zie pagina 8.
op 04 01 2012 at 17:08 schreef Geert:
Ik heb er nooit zo bij stilgestaan dat, wanneer je de breuk als mathematisch object beschouwt, “2 1/2 = 1” een heel logische denkwijze is.
Er valt ook nog iets te zeggen voor de redenatie “2 1/2 = 20,5”; immers je deelt de 1 van 21 door twee.
De huidige interpretatie is inderdaad nogal vreemd, maar omdat ik die al sinds de basisschool gebruik heb ik daar nooit moeite mee gehad.
Ik heb jarenlang bijles gegeven in wis- en natuurkunde. Behalve de jaarlijkse afname van het aantal examenonderwerpen viel me op dat steeds meer van het abstracte werd afgeweken ten faveure van klungelige voorbeelden. Kinderen moeten zich door 2 pagina’s tekst heenworstelen over Sandra en Achmed die met emmertjes zand spelen, om te leren wat een afgeleide is, terwijl dit prachtig in één wiskundige definitie te vatten is.
Juist dislecten en autisten die wel zouden kunnen uitblinken in de exacte vakken, hebben hierdoor grote moeite met de stof.
op 04 01 2012 at 17:12 schreef kevin:
@Thomas “Pagina 85 legt uit dat er twee fundamentele manieren zijn om ernaar te kijken: of als definitie of als iets dat bewezen moet worden.”
Dat brengt de leerlingen toch alleen maar in verwarring? Leerlingen worden helemaal gek als je zegt dat je fundamentele dingen ook anders kunt definiëren en dat dingen die eerst vanzelfsprekend waren dan ineens bewijs behoeven. Misschien moet ik het allemaal wat beter lezen, maar volgens mij heb je veel te veel vertrouwen in wat leerlingen kunnen begrijpen.
op 04 01 2012 at 18:46 schreef Rene Koeman:
Klinkt misschien gek, maar pas toen ik ging programmeren begreep ik de basiswiskunde pas. Echt een hele slechte zaak dat alles zo onbegrijpelijk en abstract werd gebracht op school. Pas wanneer je in Cobol een afwaarderingsfunctie van fixed-assets moet gieten in code, dan wordt het tastbaar en praktisch.
op 05 01 2012 at 11:26 schreef Thomas Colignatus:
@Geert: Op het moment dat kinderen van de afspraak horen dat a * b ook geschreven mag worden als a b, ontstaan grapjes als 145 = 1 * 4 * 5 = 20 = 2 * 0 = 0. Het punt is dat 2 1/2 geen grapje is maar een struikelblok. Waar het parlement veel geld in stort.
@Kevin: Het wordt wel opgebouwd. Op pag 34 de twee vierkanten van MNb, daarna besproken wat “afstand” betekent, dan op pag 85 bespreking van de perspectiefwisseling. De opbouw is logisch en door er wat langer bij stil te staan is het te begrijpen, met ook een beter inzicht in noties van “stelling” en “bewijs”. Nogmaals: mijn boek is een “primer”. Mijn voorstel is in de praktijk te kijken of het inderdaad werkt. En laat het parlement maar eens een onderzoek instellen.
@Rene Koeman: Helemaal eens met het fundamentele belang van programmeren. Zie “Elegance with Substance” pag 47-48 http://www.dataweb.nl/~cool/Papers/Math/Index.html
op 05 01 2012 at 15:48 schreef kevin:
@Thomas: Dank dat je reacties geeft op mijn vragen. Ik denk dat een dergelijk onderzoek op zich wel kan werken. Wiskundeonderwijs is erg moeilijk en ik heb niet bijzonder verstand van lesgeven. Wel van wiskunde en het wiskundeniveau van studenten die een technische universitaire studie willen doen, is ronduit belabberd. Het mijne toen ook, kan ik me herinneren.
@Rene: ik zeg al jaren dat programmeren een basisvaardigheid is als je iets technisch wil doen. Informatica als middelbare schoolvak is een ondergeschoven kindje en dat moet snel veranderen. Het is bijvoorbeeld ronduit slecht dat informatica niet standaard in het bètapakket zit, samen met wiskunde, natuurkunde, scheikunde. Welke van die drie laatste dingen je ook gaat doen, er komt geheid programmeren bij kijken.
op 05 01 2012 at 18:12 schreef MNb:
@TC: “Het punt is dat 2 1/2 geen grapje is maar een struikelblok.”
Zou je dat niet eerst empirisch onderbouwen? Jouw anecdotisch bewijs is niet sterker dan het mijne. Je lijkt in dezelfde fout te vervallen die je het Freudenthalinstituut onder de neus wrijft.
Als ik de Nederlandse lesmethoden (wis- en natuurkunde) van de afgelopen 40 jaar bekijk – en ik ken er wel een paar – betwijfel ook ik of die op veel empirisch onderzoek zijn gebaseerd. Dát ben ik volstrekt met je eens. Ik heb eerder de indruk dat ongeveer elke methode één of ander leuk klinkend didactisch principe formuleert en daar de hele boel aan ophangt. Daarbij vergeet men dat óók leerlingen van afwisseling houden.
Keven: eens.
op 06 01 2012 at 09:42 schreef Thomas Colignatus:
@MNb, struikelblok: Mijn uitgangspunt is dat veranderingen in het onderwijs eerst onderzocht worden. Wanneer je dat uitgangspunt in gedachten houdt wordt mijn opmerking over 2 1/2 als struikelblok hopelijk begrijpelijker. Natuurlijk moet dat onderzocht worden. Dat laat onverlet dat je al kunt zeggen dat 2 + 1/2 logisch beter is. Omdat er dan nl. ook “twee en een half” staat. Het voordeel van dit logisch inzicht is dat het kan helpen het empirisch onderzoek kort en krachtig te houden.
op 06 01 2012 at 14:17 schreef Geert:
Struikelblok of niet, puur om consistentie zou van de notatie “2 1/2=5/2” moeten worden afgestapt. Immers betekent de notatie “2 a/b” wél “(2a)/b”. Een breuk is een entiteit die je kunt vermenigvuldigen, en vermenigvuldigingstekens mag je weglaten. Om verwarring te voorkomen zou je andere operaties (opteltekens) niet weg mogen laten.
op 07 01 2012 at 05:33 schreef MNb:
Mwa, consistentie is niet altijd het hoogste goed. Maar ik geef tijdens berekeningen altijd de voorkeur aan 5/2 boven 2 1/2 – en dan ook nog eens met horizontale breukstreep ipv verticale. Ik leer mijn leerlingen om pas helemaal aan het eind 5/2 uit te werken. En schrijft iemand dat als 2 + 1/2 dan reken ik dat goed. Het is alleen nooit voorgekomen en ik ga al enige tijd mee.
Toen ik nog in Nl les gaf – dik 15 jaar terug – waren breuken een ramp. De helft van de 13, 14 jarigen kon er niet mee overweg. Hoe is dat nu? Weet iemand dat?
op 11 01 2012 at 09:50 schreef Vera Leimann:
Okee, point taken. Blijf het echter vreemd vinden dat wiskundigen in schoolboeken idd niet gewoon 5/2 schrijven. Dacht dat men dat in formules standaard deed. Althans in de “Analyse” altijd op die manier en met horizontale breukstreep. Wat MNb noemt. Maar geef toe dat dat weer geen middelbaar schoolmateriaal is en mijn middelbare schooltijd is al wat jaren geleden…
RSS