Beter wiskunde-onderwijs, nu!

29 Reacties

op 08 02 2012 at 16:57 schreef troebel:

Was vroeger leuker, maar toch maar: http://www.wiskundemeisjes.nl/

op 08 02 2012 at 17:41 schreef MrOoijer:

Thomas Cool is een excentriekeling, zegt Richard Gill. Zoals alle excentriekelingen verandert hij vaak eerst de spelregels, en gaat dan los.

Cantor’s argument is geldig in de klassieke wiskunde die gebaseerd is op een twee-waardige logica. Het introduceren van een drie-waardige logica om Cantor te “weerleggen” voelt als een vorm van vals spelen. Dat gebeurde ook in het begin van de 20e eeuw, Brouwer’s intuïtionisme was er op gebaseerd.

Brouwer verwierp ook het werk van Cantor. Zover dus niets nieuws, behalve dat alle moderne wiskundigen Cantor gelijk geven.

Dus Thomas Cool: zullen we over de vernieuwing van het wiskunde onderwijs gaan praten vanuit de inhoud en niet vanuit een “kijk eens hoe slim ik ben” startpunt?

op 08 02 2012 at 20:05 schreef Thomas Colignatus:

@MrOoijer: De wiskunde maakt impliciet al gebruik van driewaardigheid. In de axiomatische verzamelingenleer kan de paradox van Russell vermeden worden door niveaus te onderscheiden. Een verzameling is alleen welgevormd wanneer de elementen van een lager niveau zijn. Hier wordt het onderscheid tussen welgevormd of niet gebruikt om zin en onzin te onderscheiden. In de logica wil Tarski dat waarheid ook zo’n niveauverschil bevat. Ook weer een vormvereiste in plaats van inhoudelijkheid. Mijn voorstel is die derde waarde van onzin gewoon expliciet te maken in plaats van impliciet laten. In deze analyse is Cantor onzinnig bezig, en die huidige wiskundigen met hem.

op 08 02 2012 at 20:35 schreef MrOoijer:

@Cool:

[1] “De wiskunde maakt impliciet al gebruik van driewaardigheid”. Verwijs eens naar een bekend artikel. Ken ik niet.
[2] “Mijn voorstel is die derde waarde van onzin gewoon expliciet te maken in plaats van impliciet laten” – dat bedoel ik dus met de spelregels veranderen.
[3] De “paradox van Russell” is allang geen paradox meer, want op z’n plek gezet door o.a. Frege en Peano.
[4] Tarski als getuige aanvoeren is heel zwak, omdat de beroemde of beruchte stelling van Banach-Tarski zwaar leunt op de argumenten van Cantor. Die stelling zegt dat een 3-dimensionaal compact object zoals een bol via een 1-1 functie kan worden gesplitst in twee compacte objecten met dezelfde inhoud. Een bol met straal 1 kan in die stelling in 5 delen worden verdeeld, die samen twee bollen met straal 1 vormen. De wonderbaarlijke vermenigvuldiging door Jezus van de vissen en broden.
[5] Ga eens in op L.E.J Brouwer. Misschien wist je niet wie ik bedoelde. Even opzoeken.

op 08 02 2012 at 20:39 schreef MrOoijer:

PS dat N telbaar is en R ontelbaar kun je ook zonder Cantor’s diagonaal argument bewijzen.

op 08 02 2012 at 20:49 schreef Thomas Colignatus:

@MrOoijer: Overigens: (1) Richard Gill noemde me excentriek vanuit zijn Engels romantische achtergrond, hij heeft uitgelegd dat hij het positief bedoelde. Het is dan een compliment waar ik het liever zonder doe. In Nederland zal het niet begrepen worden. Ik ben verder een net mens, dus laat die kwalificaties nu maar achterwege. (2) Ook heb ik geen houding van “kijk eens hoe slim it ben”. Mij ging het erom te benadrukken dat er nog de nodige discussie is en dat wiskundigen niet zo logisch zijn als menigeen denkt. (3) Ik ben inmiddels zo aan het gemak van driewaardigheid gewend dat ik t.a.v. dit nieuwe tegenargument tegen het diagonaalbewijs niet ben nagegaan wat verdere gevolgen binnen tweewaardigheid zouden zijn. Ik heb niet de indruk dat dit nog zo interessant zou zijn.

op 08 02 2012 at 21:07 schreef Thomas Colignatus:

@MrOoijer: Mijn bedoeling was de aandacht te vestigen op het belang van zo’n parlementair onderzoek, zie de petitie. We raken nu in een discussie over logica ? Mijn voorstel is de discussie hier te beperken tot de bijdrage aan FN. Wie de onderliggende stukken gaat lezen en daar commentaar op heeft, gebruike gaarne een ander contactmiddel.
@[1] driewaardigheid: dat is juist een belangrijke observatie in mijn boek ALOE: http://www.dataweb.nl/~cool/Papers/ALOE/Index.html
@[2] Expliciet maken wat impliciet is, is niet echt de spelregels veranderen, maar ze laten zien.
@[3] Russell’s paradox haalde juist Frege en Peano onderuit. U zult Zermelo-Frankel bedoelen, maar die gebruiken die niveaus, die impliciet veronderstellen dat onzinnig is wat er niet aan voldoet.
@[4] Ik bedoelde Tarski van de waarheidsdefinitie. Banach-Tarski ken ik niet.
@[5] ALOE bevat een hoofdstuk gewijd aan Brouwer. Ik ken diens argument tegen Cantor niet, en ik denk dat mijn benadering van het oneindige op een nieuwe wijze scherp stelt wat historisch ook weer erg impliciet is.
Een algemeen punt is wel dat op deze wijze overzichtelijke wiskunde voor het onderwijs ontstaat. Maar wanneer je zo de diepte inga

op 08 02 2012 at 22:12 schreef MrOoijer:

@Thomas – “Mijn bedoeling was de aandacht te vestigen op het belang van zo’n parlementair onderzoek, zie de petitie. ” Prima, doe dat dan zonder ZELF de hele wiskunde ondersteboven te gooien en ter discussie te stellen. Je weet vast heel van van het onderwijzen van wiskunde – dat kan ik niet beoordelen -, maar dat je noch Banach-Tarki kent, noch Brouwers argumenten tegen Cantor, dat geeft weer eens aan dat je er ook weer niet zoveel van weet.

“ALOE bevat een hoofdstuk gewijd aan Brouwer. Ik ken diens argument tegen Cantor niet, en ik denk dat mijn benadering van het oneindige op een nieuwe wijze scherp stelt wat historisch ook weer erg impliciet is.”

Da’s dan vreemd, dat je wel over Brouwer schrijft maar zijn argumenten niet kent. De rest van wat je beweert is typerend voor de excentriekeling die naar niemand meer luistert.

Het onderwijs, laten we het daar eens over hebben. Er zijn veel manieren om te differentïeren en te integreren, van Riemann tot Stieltjes tot Lebesque. Het is een goede vraag welke het makkelijkst begrijpbaar is voor leerlingen, maar het is niet goed je zonder meer af te zetten tegen de heersende praktijk.

op 09 02 2012 at 09:14 schreef Thomas Colignatus:

@MrOoijer: “Da’s dan vreemd, dat je wel over Brouwer schrijft maar zijn argumenten niet kent.”: Ik bespreek Brouwer’s logica en systeem. Wat ik van hem las of over hem: daarin kwam Cantor’s diagonaal argument niet voor. Dus het is niet vreemd dat ik diens argument specifiek tegen deze stelling van Cantor niet ken.

“maar het is niet goed je zonder meer af te zetten tegen de heersende praktijk”: dat doe ik beslist niet “zonder meer”.

“Prima, doe dat dan zonder ZELF de hele wiskunde ondersteboven te gooien en ter discussie te stellen”: (a) Veel mensen kunnen het voorbeeld van 2 + 1/2 begrijpen, of voor hoeken dat 1 als eenheid voor de cirkel gemakkelijker is dan 360 graden. Voor mensen met HAVO A of B is er al meer te volgen. Mensen met VWO wiskunde B zouden mijn “Conquest of the Plane” moeten kunnen volgen. (b) De punten die ik daarenboven voor de wiskundigen aan de orde stel volgden ook uit mijn onderzoek, zijn nuttig, en kunnen voor hen een eye-opener zijn. Daar gaat die petitie niet over maar het laat wel zien dat er discussie mogelijk is.

op 09 02 2012 at 16:47 schreef MrOoijer:

In item 1(a) van de petitie stel je dat alle wiskundigen bewijsmateriaal negeren dat ze onlogisch bezig zijn. Of iets anders gesteld: datgene dat jij onlogisch noemt en waarvoor jij bewijsmateriaal denkt aan te dragen wordt door elke wiskundige genegeerd.

Geheel in lijn met andere pseudo-wetenschappers ken je maar één gelijk, en dat is het eigen gelijk. Als anderen die superioriteit niet erkennen, gaat de volgende fase in: die van het complotdenken. Ze zweren samen omdat anders hun positie in gevaar komt. Zo werkt het toch?

Je noemt het “mijn onderzoek”, maar wat ik van je gelezen heb, dat vind ik helemaal geen (goed) onderzoek. Het zijn meningen die soms interessant zijn, maar niet meer dan dat. Ja, misschien is 2 1/2 een verwarrende notatie en misschien kun je een hoek beter niet in 360 graden verdelen, maar dat heeft in ieder geval niets met wiskunde te maken, en je hebt ook niet onderzocht of het klopt.

Er is een heleboel niet goed in het huidige (wiskunde) onderwijs, maar niet dit.

op 09 02 2012 at 21:51 schreef Thomas Colignatus:

@MrOoijer: Heeft het nog zin dat u commentaar plaatst, wanneer u uw mening al heeft opgemaakt? De petitie pleit voor nader onderzoek. Waarom wilt u dat ik daar zelf geld aan uitgeef, ik alleen ? Zaken als 2 + 1/2 en 360 hebben met de didactiek van de wiskunde te maken. Voor de wiskunde zelf heb ik andere bijdragen. Ik maak daar onderscheid tussen, waarom volgt u dat niet ? Nee, geen komplotdenken, maar een controleerbaar constateren van een beroepsdeformatie. Enfin.

op 09 02 2012 at 21:53 schreef Thomas Colignatus:

Een nieuwe ontwikkeling: In het blad Euclides is er een zgn. “boekbespreking” van COTP waarbij de auteur gaat schelden: http://www.dataweb.nl/~cool/Papers/Math/2012-02-Euclides-87-4-p168-170.pdf

Hier is mijn antwoord:
http://www.dataweb.nl/~cool/Papers/Math/2012-02-09-Colignatus-reactie-op-Euclides-87-4-p168-170.pdf

op 09 02 2012 at 22:54 schreef MrOoijer:

Ja hij zegt het wat anders dan ik, maar het komt op hetzelfde neer. Pseudo-wetenschap. Onzin.

Jeroen Spandaw:

“Ik heb veertien bladzijden aantekeningen verzameld over het onbegrijpelijke proza, de onzin, de regelrechte fouten, de misverstanden, de half begrepen en slecht gepresenteerde wiskunde. Ik zal u niet vermoeien met een uitputtende opsomming van alle onzin, maar ik hoop wel dat na deze recensie _niemand_ ooit meer tijd hoeft te besteden aan de pseudo-wiskundige werken van Colignatus. Daarom … zal ik een aantal voorbeelden geven uit de verwarde wereld van Colignatus.”

De rest moeten de lezers van dit blog maar in de link gaan lezen.

Maar Cool, één zin begrijp ik niet: “Waarom wilt u dat ik daar zelf geld aan uitgeef, ik alleen?” Ik weet niet waar dit op slaat, het lijkt me juist beter dat je je geld in je zak houdt en nooit, maar dan ook nooit, hier nog iets over schrijft.

op 10 02 2012 at 09:50 schreef Thomas Colignatus:

@MrOoijer: Wat u doet is dus selectief citeren.

Ik geef netjes de tekst van Spandaw, mijn commentaar plus de PDF van het boek waar het om gaat. Mijn kritiek op Spandaw is dat hij verkeerd leest en presenteert. Hij heeft zijn tekst niet vooraf laten lezen om de gelegenheid te geven zulke fouten eruit te halen.

Wie aan discussie deeltneemt moet wel de verschillende kanten bekijken. En het mooie van wiskunde is dat niets je dwingt behalve je eigen inzicht. Spandaw verwijt mij slechte wiskunde, en ik zeg dat hij blind is voor betere wiskunde.

op 10 02 2012 at 10:16 schreef Thomas Colignatus:

Overigens, de macht van het getal werkt hier dus niet, maar voor de informatie is het wel van belang dat er eerder twee positieve recensies waren:

http://www.euro-math-soc.eu/node/2081

http://www.math.leidenuniv.nl/~gill/reviewCOTP.html

Wiskundigen die de diepte in willen gaan maak ik attent op mijn antwoord op het Lezersforum van Euclides:
http://www.nvvw.nl/page.php?id=8091&rid=8729&topicID=1854&view=list_posts

op 10 02 2012 at 19:52 schreef MrOoijer:

@Thomas, ik verwijt je ook slechte wiskunde, ik noemde het zelfs pseudo-wetenschap en onzin. Het gaat mij er ook allang niet meer om dat jij hier van overtuigd raakt, want dat zul je nooit zijn. Maar misschien dat andere lezers die hier soms langs komen dan een kleine waarschuwing krijgen: hier is een uitermate excentriek persoon aan het woord.

Van wiskunde heb je geen kaas gegeten. Je bent niet in staat om een goed bewijs op te schrijven. In je boeken heb ik geen serieus bewijs aangetroffen. Een axiomatische aanpak is je in je boeken eveneens vreemd.

Je vindt dat je door Jeroen Spandaw verkeerd wordt begrepen en dat hij zijn recensie eerst voor correctie bij je had moeten inleveren. Dat is het argument van de altijd gelijk hebbende fanaticus. Wanneer leverde jij je schrijfsels in bij de mensen die je kritiseerde?

Thomas Colignatus, AKA Thomas Cool, is een pseudo-wetenschapper.

op 11 02 2012 at 11:16 schreef MrOoijer:

Uit CotP, pag 167:

“Consider function f from x on the interval [0, 1] to y on the interval [0, 1]. A special function is y = x, also known as the diagonal. When we consider an arbitrary continuous function that starts at {0, 0} and that ends at {1, 1} then this function must touch or cross the diagonal at least once (not counting the origin).”

En dan volgt een plaatje van een curve die y=x kruist.

Maar – de functie y= vierkantswortel(x) is een tegenvoorbeeld, net als ontelbaar andere functies. Dus er staat hier iets onzinnigs. Als het punt (1,1) mee mag doen is het volstrekt triviaal: immers dat is de aanname waarmee wordt begonnen: dat f(1)=1. Wordt dat niet bedoeld, maar moet volgens Cool het snij- of raakpunt strikt tussen 0 en 1 liggen, dan is de uitspraak fout.

Dat is Cool ten voeten uit. Met veel bravoure iets roepen, wat totale onzin is, en als iemand dan laat zien dat het niet klopt, spreken over schelden. Waar heb ik dat toch eerder gehoord?

Roze Khmer.

op 11 02 2012 at 13:07 schreef Thomas Colignatus:

@MrOoijer: (1) Ik geef mensen op wier werk of uitspraken ik kritiek heb standaard de gelegenheid om te reageren, met de mogelijkheid dat ik die kritiek zou moeten herzien. Bijvoorbeeld heb ik Ronald Plasterk die gelegenheid gegeven. Omdat hij niet reageert stuur ik maar niets meer t.a.v. nieuwe kritiek, want blijkbaar wordt het niet op prijs gesteld. Zou heb ik bijvoorbeeld ook Jeroen Spandaw gelegenheid gegeven om te reageren, en hij heeft daar ook geen gebruik van gemaakt. (2) Bij het aangehaalde voorbeeld van de dekpuntstelling van Brouwer in COTP wordt uitgelegd dat het slechts een didactisch opstapje is. Daar staat nergens de claim dat het exact wordt uitgewerkt. Zoals het er staat is het waar. Je kunt het triviaal vinden, maar het is wel waar. Natuurlijk maakt het nieuwsgierig voor gevallen waarin het niet triviaal is, en Jeroen Spandaw wijst terecht op een mogelijke aanpak. Maar, MrOoijer, ga dit didactisch opstapje niet uit zijn verband halen, u bewijst uw lezers er geen dienst mee.

op 11 02 2012 at 13:55 schreef Thomas Colignatus:

@MrOoijer: Nadere aanvulling: Een traditioneel criterium ter beoordeling of een boek al dan niet wiskunde is, is de vraag: staat er een bewijs in? Uw bewering “In je boeken heb ik geen serieus bewijs aangetroffen” richt zich derhalve op de vernietiging van COTP als wiskunde-boek. De bewering is echter onwaar. Zo zien we op pag 31 bijvoorbeeld de optelling der hoeken van een driehoek tot 1/2 (UMA). Nu kun je roepen dat 180/360 = 1/2 triviaal is. Maar dat is niet de bedoeling van COTP. Daar gaat het erom dat het didactisch voordelig kan zijn voor leerlingen die hiermee kennismaken om vanaf het begin de eenheidsmaat 1 (het platte vlak zelf) te gebruiken in plaats van 360 graden. COTP bespreekt de axiomatiek van Euclides. In ALOE vindt u de axiomatiek van de propositielogica. Ik stel vast dat u selectief leest en op zoek bent naar de gelegenheid negatieve opmerkingen te maken.

op 11 02 2012 at 13:59 schreef Thomas Colignatus:

@Peter Breedveld: Ik stel vast dat MrOoijer selectief leest en op zoek is naar de gelegenheid negatieve opmerkingen te maken. Dit is derhalve geen open discussie en voor lezers verwarrend. Mag ik voorstellen dat MrOoijer t.a.v. reacties t.a.v. mijn bijdragen geblokkeerd wordt, bijvoorbeeld tot na de zomervakantie ?

op 11 02 2012 at 14:00 schreef Peter:

De belligerente MrOoijer scheert langs de grenzen van wat ik toelaatbaar acht, maar ik kijk het nog even aan.

op 11 02 2012 at 14:56 schreef MrOoijer:

Dus je poneert: elke functie met f(1)=1 heeft het punt (1,1) gemeen met y=x? Dat is triviaal en kan nooit als didactisch voorbeeld dienen. “Twee functies die het punt (1,1) gemeen hebben hebben een punt gemeen”. Ja nogal wiedes. Maar verwarrend voor de gemiddelde leerling.

Als je dat bedoelde, waarom schrijf je het dan niet zo op? En waarom is er dan de overbodige voorwaarde f(0)=0? En hoe kan een triviaal voorbeeld een didactisch opstapje zijn? Je toont je gewoon niet in staat om een eenvoudige uitspraak correct te formuleren.

De stelling van Brouwer zegt voor deze figuur dat een afbeelding f van [0,1]->[0,1] een fixed point heeft, dus een a in die range met f(a)=a. Als je beide eindpunten weglaat, dus g:(0,1)->(0,1), dan is het niet waar, want x->x/2 heeft geen fixpoint. Door dus van de functies te eisen dat f(0)=0 en f(1)=1 haal je nu net de essentie van de stelling weg. Kortom: je hebt het niet begrepen.

op 11 02 2012 at 15:08 schreef MrOoijer:

@Peter, als je Thomas hier toe laat, wat je goed recht is, kun je wel verwachten dat wiskundigen in Nederland hier zo nu en dan komen reageren. Mijn doel is niet om ruzie te zoeken maar om pseudo-wetenschap aan de kaak te stellen. Dat dat dan negatieve opmerkingen zijn, dat moge duidelijk zijn, maar daarom zijn ze nog niet onwaar of ongepast.

Maar goed, mij best, ik heb gezegd wat er gezegd moet worden. Het wordt nu toch te langdradig en te technisch.

op 11 02 2012 at 15:10 schreef Peter:

‘Komen reageren’ is iets anders dan agressief hakken, Ooijer. Wees gewaarschuwd.

op 11 02 2012 at 19:51 schreef MrOoijer:

@Peter.

Thomas en ik zijn het over één punt eens: het wiskunde onderwijs kan veel beter. Maar daar scheiden onze wegen al. Een petitie schrijven en die illustreren met een zelf gevonden “weerlegging” van fundamentele resultaten van Cantor en Gödel is een soort publicitaire zelfmoord. Wie dat doet zet zichzelf weg als een absolute zonderling en “crank” (leg ik hierna uit). Het probleem is dat leken niet kunnen beoordelen wat de argumenten zijn, terwijl wiskundigen alleen maar iemand zien die de meest elementaire fouten maakt. Maakt een openbaar debat lastig.

Thomas is niet de eerste die dit soort “weerleggingen” publiceert. In het boek “Mathematical cranks” (1992) geeft Underwood Dudley een hele serie vermakelijke voorbeelden. Dat wekte de woede op van een van de “cranks”, ene Dilworth, die een proces wegens smaad begon. Ook Dilworth had een weerlegging van Cantor’s diagonaal argument gevonden – zei hij. Maar een rechter in het Supreme Court maakte gehakt van Dilworth’s argumenten.

“A crank is a person inexplicably obsessed by an obviously unsound idea.”

En daarom mocht Dudley een crank een crank noemen. Dat blijf ik dan ook hier maar even doen.

op 11 02 2012 at 21:44 schreef MNb:

Volgens mij zijn er hier twee heren aan het woord die geen duidelijk begrip van het vak didactiek hebben. Wel, volgens Wikipedia is dat de wetenschapsdiscipline die zich bezig houdt met de vraag hoe kennis, vaardigheden en leerhoudingen of attitudes door een leerkracht kunnen worden onderwezen aan leerlingen/studenten.
Mijn werk dus, aan kinderen van 12 tot 16 jaar. Denken jullie nu echt dat ik die ga vervelen met Cantor, Euclides of met de vraag of de Stelling van Pythagoras nou een definitie of een conclusie moet zijn?
Ik ben al blij als ze ongelijksoortige termen uit elkaar kunnen houden en alleen gelijksoortige termen optellen. Of als ze beseffen dat 0/0 geen 0 is – een fout die mijn beste leerlingen vorige week nog op een natuurkunderep maakten.
Ik heb het al eerder geschreven. De bewering dat de notatie 2½ tot verwarring leidt wordt noch ondersteund door mijn persoonlijke ervaring noch door empirisch onderzoek, want dat is nooit gedaan. Noch is empirisch onderzocht of een andere notatie beter werkt.
Discussieer lekker verder, maar de waarde voor mij als degene die het in praktijk moet brengen is voorlopig nihil.

op 11 02 2012 at 22:40 schreef Thomas Colignatus:

@MNb: Hopelijk heb je gezien dat ik stoorzender MrOoijer verzocht om op te houden over Cantor, omdat ik het slechts genoemd had als voorbeeld van hoe wiskundigen onderling nog van mening kunnen verschillen. Hijzelf noemde Brouwer als zo’n opponent. Blijkbaar mag ik niet mijzelf noemen omdat ik niet deug ofzo. Enfin. Cantor is in ieder geval niet mijn reden voor de petitie. Mijn boek “Elegance with Substance” richt zich inderdaad op die practische problemen. Klaarblijkelijk sta jij nog volledig achter de huidige standaard en ligt het probleem alleen bij het verduidelijken aan leerlingen. Mijn boek stelt dat echter ter discussie. Ik heb wel de waarneming gedaan dat een leerlingen onder mijn ogen bij 2 + 1/2 = 2 1/2 en later … = 1 schreef (niet zo direct achter elkaar maar met tussenstappen zodat die verwarring ontstond). Ga nu niet zeggen “Noch is empirisch onderzocht of een andere notatie beter werkt” want de bedoeling van die petitie is dat het nu eens wordt uitgezocht.

op 11 02 2012 at 23:01 schreef MrOoijer:

@MNb: “De bewering dat de notatie 2½ tot verwarring leidt wordt noch ondersteund door mijn persoonlijke ervaring noch door empirisch onderzoek…”

Precies wat ik schreef:

“…en je hebt ook niet onderzocht of het klopt.”

op 06 04 2012 at 09:26 schreef Roel:

MrOoijer: Het is ‘aftelbaar’ en ‘overaftelbaar’.
De natuurlijke getallen zijn niet telbaar.

Succes nog met jullie discussie! Ga zo door!