Pythagoras
Yezkilim
Illustratie: Wilhelm von Gloeden
Meestal moet je weten wat aanliggende rechthoekszijden, schuine zijden, wortels, rechte hoeken, kwadraten, overstaande rechthoekszijden en rechthoekige driehoeken zijn voor je de uitleg van de stelling van Pythagoras kunt volgen. Maar het kan ook zonder. Hier een herkansing voor wie de stelling vergeten is.
Stel je voor, een rechthoek.
De linker- en rechterkant noemen we de hoogte van de rechthoek, de onder- en bovenkant noemen we de breedte. Van de hoek linksonder naar de hoek rechtsboven (mag ook van rechtsonder naar linksboven, dat maakt voor de stelling niet uit) is een kaarsrechte schuine lijn getrokken. Deze heet de diagonaal.
Je kent waarschijnlijk al twee formules die bij zo’n rechthoek horen:
(1) Omtrek = hoogte + breedte + hoogte + breedte
(2) Oppervlakte = hoogte x breedte
Pythagoras heeft er nog één bedacht (zijn stelling):
(3) (Diagonaal x diagonaal) = (hoogte x hoogte) + (breedte x breedte).
Trek je er niets van aan dat in veel opgaven alleen de halve rechthoek (onder of boven de diagonaal) getekend is. Schets of denk de andere helft erbij. Soms is de driehoek of rechthoek een stukje gedraaid. Draai de tekening dan gewoon zó, dat de rechthoek weer rechtop staat.
Wat kun je doen met de stelling van deze oude Griek?
Uitrekenen hoe lang de diagonaal is, als je de breedte en de hoogte weet. Of de breedte uitrekenen als je de diagonaal en de hoogte weet, of de hoogte als je de diagonaal en de breedte weet.
Meestal heb je hierbij een rekenmachine nodig.
Daar zit een pythagorasknopje op: √.
Dat gebruik je zo: weet je (hoogte x hoogte) of (breedte x breedte) of (diagonaal x diagonaal), bijvoorbeeld 100, dan tik je √ 100 =
en de uitkomst, ofwel de hoogte, de breedte of de diagonaal verschijnt op je scherm.
Voorbeelden
Uit (1) en (2) komt een mooi getal, maar bij (3) en (4) moet je afronden.
De schetsjes zijn maar schetsjes, dus niet op maat en niet in verhouding.
(1) De hoogte van een rechthoek is 3 cm en de breedte is 4 cm. Wat is de diagonaal?
Invullen in de formule (diagonaal x diagonaal) = (hoogte x hoogte) + (breedte x breedte) geeft:
(diagonaal x diagonaal) = (3 x 3) + (4 x 4).
(3 x 3)= 9 en (4 x 4)=16. Invullen:
(diagonaal x diagonaal) = 9 + 16.
9 + 16 = 25. Invullen:
(diagonaal x diagonaal) = 25.
Tik op je rekenmachine √ 25 = en je krijgt 5, dus de diagonaal is 5 centimeter.
(2) De hoogte van een rechthoek is 5 cm en de diagonaal is 13 cm. Wat is de breedte?
Invullen in de formule (diagonaal x diagonaal) = (hoogte x hoogte) + (breedte x breedte) geeft:
(13 x 13) = (5 x 5) + (breedte x breedte).
(5 x 5)=25 en (13 x 13)=69. Invullen:
169 = 25 + (breedte x breedte).
169 25 = 144. Invullen:
(breedte x breedte) = 144.
Tik op je rekenmachine √ 144 = en je krijgt 12, dus de breedte is 12 centimeter.
(3) De hoogte van de rechthoek is 3 cm en de breedte is 5 cm. Wat is de diagonaal?
Invullen in de formule (diagonaal x diagonaal) = (hoogte x hoogte) + (breedte x breedte) geeft:
(diagonaal x diagonaal) = (3 x 3) + (5 x 5).
(3 x 3)=9 en (5 x 5)=25. Invullen:
(diagonaal x diagonaal) = 9 + 25.
9 + 25= 34. Invullen:
(diagonaal x diagonaal) = 34.
Tik op je rekenmachine √ 34 = en je krijgt 5,83095…., dus de diagonaal is ± 5,83 centimeter.
(4) De breedte van de rechthoek is 5 cm en de diagonaal is 10 cm. Wat is de hoogte?
Invullen in de formule (diagonaal x diagonaal) = (hoogte x hoogte) + (breedte x breedte) geeft:
(10 x 10) = (hoogte x hoogte) + (5 x 5).
(10 x 10)=100 en (5 x 5)=25. Invullen:
100 = (hoogte x hoogte) + 25.
100 25 = 75. Invullen:
(hoogte x hoogte) = 75.
Tik op je rekenmachine √ 75 = en je krijgt 8,66025…., dus de hoogte is ± 8,66 centimeter.
Yezkilim is een full-time allround compulsief obsessief probleemoplosser, met als specialiteit radicale onderwijshervormingen. Daarnaast is ze wiskundeleraar.
Yezkilim, 23.05.2009 @ 08:55
18 Reacties
op 23 05 2009 at 09:12 schreef rena:
LOL en ik dacht nog wel de rest van mijn leven van wiskunde verlost te zijn…
op 23 05 2009 at 09:33 schreef Benech:
Yezkilim: moet ik nu op mijn vrije zaterdagmorgen aan wiskunde gaan denken? Je wist trouwens dat er op MathWorld (en ook op andere sites) bewijzen worden verzameld? Ik meen dat de teller momenteel op ruim 200 bewijzen staat hoewel veruit de meeste bewijzen op een heel klein aantal terug te herleiden zijn.
op 23 05 2009 at 12:04 schreef toevallige voorbijganger:
Een Pythagorasknopje?
Ik heb altijd geleerd dat het een wortel was.
op 23 05 2009 at 14:12 schreef EH:
Het geometrisch bewijs van de stelling van pythagoras, dat mis ik even.
http://www.math.ntnu.no/~hanche/pythagoras/
Dat is toch oneindig veel iteressanter dan hoe je dat in je rekenmachine intypt?
op 23 05 2009 at 15:51 schreef Geert:
Bedankt! Nu snap ik de stelling van Pythagoras eindelijk!!
op 23 05 2009 at 22:58 schreef Agnes:
Ik weet niet echt wat overstaande rechthoekszijden e.d. zijn, ik heb het altijd op deze manier geleerd op school. Maar wij hadden dan ook de Wageningse Methode (= realistiese methode opgericht in 1973).
Maar als u dan toch wiskundeleraar bent, zou u me misschien ook kunnen vertellen wat de afgeleide is van
(1/pi)*arctan(x/a)+(1/2) ?
op 24 05 2009 at 01:06 schreef sbs6:
@Agnes
a/(%i*x^2+pi*a^2)
op 24 05 2009 at 01:07 schreef sbs6:
woops:
a/(pi*x^2+pi*a^2)
op 24 05 2009 at 23:01 schreef drnomad:
Volgende opgave. Gegeven a * b = Z, het getal Z is bekend, en a en b zijn onbekend. Hoe bereken je a en b. Voorbeeld, a * b = 123456789, wat is de waarde van a en wat is de waarde van b.
op 24 05 2009 at 23:51 schreef Benech:
a=z/b of b=z/a. Mis ik iets of zit er een addertje onder het gras?
op 25 05 2009 at 09:25 schreef Geert:
drnomad,
de oplossing is de lijn a=b/Z. Of gewoon a*b=Z. Omdat er slechts één vergelijking is, kun je hier verder niets aan oplossen. Je kunt a (of b) vrij kiezen en daar dan b (of a) bij uitrekenen.
Niet bijzonders, zal ook nooit iets aan veranderen.
Waar ik zelf op het moment mee zit:
a/(x^2+1) + b*exp(-x^2) = c
a,b,c zijn gegeven, bereken x.
Ik betwijfel eerlijk gezegd of er een analytische oplossing is, want Maple kan er ook al niets mee. Succes! :)
mvgr,
Geert
op 25 05 2009 at 11:21 schreef Henk:
Leuk al mis ik wel het prachtige woord hypotenusa in dit verhaal.
op 25 05 2009 at 12:07 schreef drnomad:
"a=z/b" is wederom een vergelijking met twee onbekenden, namelijk a en b. De vraag is, maak a en b bekend. Het addertje onder het gras is, dat wie hier een berekening voor vindt (dus niet uitproberen), wint een nobelprijs, wordt benoemd tot grootst mathematicus van de 21e eeuw en wordt misschien wel omgelegd door de internet industrie. Ik was eigenlijk wel benieuwd of wiskundeland al een beetje is gevorderd met dit sommetje.
op 25 05 2009 at 17:21 schreef Benech:
Geert: kan je sowieso vergeten. Een kwadratisch exponentiele funtie en een polynoom met graad 2 en hoger kan je zelden tot nooit analytisch oplossen.
op 25 05 2009 at 18:50 schreef Geert:
Benech:
Als ik het vereenvoudig tot
a/x + b*exp(x) = c
kom ik er ook niet uit. Behalve voor c = 0.
Taylorreeksje dan maar…
op 25 05 2009 at 23:30 schreef Benech:
Kan kloppen Geert, bovenstaande is zo snel uit mijn hoofd transcedent en dus kan je zoeken tot je een ons weegt. Maar waarom een Taylorbenadering? Ik zou eens Newton-Raphson serieus overwegen. Werkt sneller en accurater.
op 26 05 2009 at 07:40 schreef Geert:
Thanks, Benech!
De methode stond me nog vaag bij, maar was de naam vergeten.
op 01 06 2009 at 14:55 schreef Guus B:
Eindelijk eens een fatsoenlijke uitleg, door Yezkilim. Op de HBS-A was wiskunde niet mijn favoriet maar wel verplicht tot de 4e klas.
Pythagoras hoorde bij het volgende rijmpje dat er ingestampt was (we hadden nog geen telmachinetjes):
"Als een hoek van dertig graad, op een rechthoekszijde staat, is die rechte zij de helft der schuine zijde, en de andere zijde die, is die helft maal wortel drie, maar let goed op wie de de grootste is van beide.
RSS